伽瑪函數(shù)(Gamma函數(shù))，也叫歐拉第二積分，是階乘函數(shù)在實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)上擴(kuò)展的一類函數(shù)。該函數(shù)在分析學(xué)、概率論、偏微分方程和組合數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用。與之有密切聯(lián)系的函數(shù)是貝塔函數(shù)，也叫第一類歐拉積分?？梢杂脕砜焖儆?jì)算同伽馬函數(shù)形式相類似的積分。

gamma函數(shù)——Gamma/伽馬函數(shù)，伽馬分布

一。[MathProcessingError]ΓGamma分布

指數(shù)分布是兩次事件發(fā)生的時(shí)間間隔

[MathProcessingError]ΓGamma分布是n倍的指數(shù)分布

即，[MathProcessingError]ΓGamma分布表示發(fā)生n次([MathProcessingError]αalpha次)事件的時(shí)間間隔的概率分布

可以直觀地認(rèn)為[MathProcessingError]ΓGamma分布是Possion分布在正實(shí)數(shù)集上的連續(xù)化版本

[MathProcessingError]Possion(X=k|λ)=λke?λk!Possion(X=k|lambda)=frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}

=>將[MathProcessingError]λlambda轉(zhuǎn)為x

[MathProcessingError]Gamma(x|α=k+1)=xαe?xΓ(k+1)=xke?xk!Gamma(x|alpha=k+1)=frac{x^alphae^{-x}}{Gamma(k+1)}=frac{x^ke^{-x}}{k!}

二。[MathProcessingError]ΓGamma函數(shù)

定義

[MathProcessingError]Γ(s)=∫0+∞e?xxs?1dx(s>0)Gamma(s)=int_{0}^{+infty}e^{-x}x^{s-1}dx(s>0)

性質(zhì)

1)s>0時(shí)，此反常積分收斂

2)[MathProcessingError]Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)Gamma(s+1)=sGamma(s)(s>0)，特別[MathProcessingError]Γ(n+1)=n!Gamma(n+1)=n!

3)當(dāng)[MathProcessingError]s→0+sto0+時(shí)，[MathProcessingError]Γ(s)→+∞Gamma(s)to+infty

4)[MathProcessingError]Γ(s)Γ(1?s)Gamma(s)Gamma(1-s)=[MathProcessingError]πsinπs(0

[MathProcessingError]Γ(n)=(n?1)!Gamma(n)=(n-1)!，Gamma(5+1)=5!=120

[MathProcessingError]Γ(s)=(s?1)!Gamma(s)=(s-1)!，5*Gamma(5)=5*4!=120

三。[MathProcessingError]ΓGamma函數(shù)應(yīng)用

[MathProcessingError]k!=∫0∞xke?xdxk!=int_{0}^{infty}x^ke^{-x}dx

在[MathProcessingError]Γ(s)=∫0∞xs?1e?xdxGamma(s)=int_{0}^{infty}x^{s-1}e^{-x}dx中，

作x=u^2的代換可得

[MathProcessingError]Γ(s)=2∫0∞e?u2u2s?1duGamma(s)=2int_{0}^{infty}e^{-u^2}u^{2s-1}du

再令t=2s-1，即有

[MathProcessingError]∫0∞e?u2utduint_{0}^{infty}e^{-u^2}u^{t}du=[MathProcessingError]12Γ(1+t2)frac{1}{2}Gamma(frac{1+t}{2}),t>-1

特別，令[MathProcessingError]s=12s=frac{1}{2}，可得概率論中常用積分

高斯-勒讓德求積公式及Matlab實(shí)現(xiàn)

[MathProcessingError]∫?11f(x)dx≈∑k=0xAkf(xk)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxsum^{x}_{k=0}A_{k}f(x_k)我們知道勒讓德多項(xiàng)式[MathProcessingError]Pn+1(x)P_{n+1}(x)的零點(diǎn)就是求積公式的高斯點(diǎn)，形如上式的高斯公式特別的稱為高斯-勒讓德公式。

若取[MathProcessingError]P1(x)=xP_1(x)=x的零點(diǎn)[MathProcessingError]x0=0x_0=0做節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式

[MathProcessingError]∫?11f(x)dx≈A0f(0)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxA_0f(0)令它對[MathProcessingError]f(x)=1f(x)=1準(zhǔn)確成立，即可定出[MathProcessingError]A0=2A_0=2。這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式是中矩形公式，再取[MathProcessingError]P2(x)=12(3×2?1)P_2(x)=frac{1}{2}(3x^2-1)的兩個(gè)零點(diǎn)[MathProcessingError]±13pmfrac{1}{sqrt{3}}構(gòu)造求積公式

[MathProcessingError]∫?11f(x)dx≈A0f(?13)+A1f(13)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxA_0f(-frac{1}{sqrt{3}})+A_1f(frac{1}{sqrt{3}})令它對[MathProcessingError]f(x)=1,xf(x)=1,x都準(zhǔn)確成立，有

[MathProcessingError]{A0+A1=2,A0(?13)+A1(13)=0left{

begin{aligned}

&A_0+A_1=2,\

&A_0(-frac{1}{sqrt{3}})+A_1(frac{1}{sqrt{3}})=0

end{aligned}

right.

由此解出[MathProcessingError]A0=A1=1A_0=A_1=1，從而得到兩點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式

[MathProcessingError]∫?11f(x)dx≈f(?13)+f(13)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxf(-frac{1}{sqrt{3}})+f(frac{1}{sqrt{3}})

三點(diǎn)高斯-勒讓德公式的形式是

[MathProcessingError]∫?11f(x)dx≈59f(?155)+89f(0)+59f(155)int^{1}_{-1}{f(x)}dxapproxfrac{5}{9}f(-frac{sqrt{15}}{5})+frac{8}{9}f(0)+frac{5}{9}f(frac{sqrt{15}}{5})下表給出常用的高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)

眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。微分實(shí)際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù)。所以，微分與積分互為逆運(yùn)算。實(shí)際上，積分還可以分為兩部分。如果大家還想了解更多與之有關(guān)的信息，歡迎關(guān)注我們優(yōu)詞網(wǎng)的官網(wǎng)。